오늘은 고등학교 학생들이 수학 공부하는 데 도움이 될 만한 내용으로 글을 써볼까 합니다. 고등학교 1학년 수학의 경우 중학교 3학년 수학과 70% 정도 내용이 겹치고 있습니다. 인수분해라든가 이차방정식, 이차함수와 같은 내용은 거의 같다고 볼 수 있습니다. 고등학교 1학년 학생인데 중학교 공부가 좀 미흡했던 학생이라면 중3 과정을 자세히 보는 것만으로도 어느 정도 성적을 올릴 수 있다는 생각이 듭니다.
중학교 공부가 단순히 공식을 외우는 것에 가까웠다 한다면 고등학교 공부법은 바뀌어야 한다는 것은 자명한 사실입니다. 고등학교 수학은 중학교 수학에 비해 더 추상적이고 높은 사고를 요구하는 과목으로 바뀝니다. 문제가 된 유형의 다양성도 엄청나게 증가한다는 것을 느낄 수 있습니다. 이런 현상에 대해 직시한다면 고등학교 1학년 수학은 어떤 방식으로 접근해야 할지에 대한 생각이 많아질 것이라는 생각이 듭니다. 아래 학습법을 통해 수학에 도움을 받을 수 있었으면 좋겠습니다.
1. 누구나 강조하는 개념
개념에 대한 내용은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 문제를 많이 푸는 것보다 개념을 먼저 이해하는 것이 중요하다고 말합니다. 당연한 말입니다. 하지만 개념이 어느 정도 잡혔다면 문제를 많이 푸는 것도 그가 못지않게 중요합니다, 우리나라 수학교육은 어느 정도 연산 실력이 잡혀 있지 않으면 상위권의 성적을 유지하기 어렵기 때문입니다.
연산이나 많은 수의 문제 풀이도 중요하기 때문에 닭이 먼저냐, 달걀이 먼저냐와 같은 의문이 생길 수도 있습니다. 하지만 정확히 짚고 넘어가자면 수학은 개념이 먼저라고 할 수 있습니다. 수학 개념서가 시중에 많이 나와 있습니다. 개념서에 내용을 이해했다고 생각했는데 막상 문제를 풀려고 보면 풀리지 않는 경우가 있습니다. 다시 개념 부족인가 하는 생각에 복습하고 문제를 다시 봐도 문제가 안 풀리는 경우가 있습니다. 개념은 유도하는 과정을 반드시 익히도록 하세요. 개념을 유도한 후에 문제를 보았을 때 개념이 문제에 어떻게 적용이 되는지 모르겠다면 풀이 과정을 보는 것을 추천해 드립니다. 풀이 과정을 보지 않고 바로 문제를 풀어내는 똑똑한 학생이라면 이런 고민도 하지 않으리라는 생각이 듭니다. 하지만 선생님께서 문제 풀이를 설명하시는 것도 어떻게 보면 개념을 적용하는 과정이라고 볼 수 있습니다. 우리는 양심의 가책을 느낄 필요가 없습니다. 목적만 생각하세요. 결국은 문제를 실수 없이 잘 풀어내는 것이 우리의 목적입니다. 공식 적용 방식에 대해 공식과 더불어 익힌다면 수학이 좀 쉬워질 수 있습니다. 개념에 대해 내가 정말 제대로 알고 있는지가 궁금하다면 노트에 적어 보는 것도 한 방법이라고 할 수 있습니다. 아예 내용을 모르는 동생에게 개념을 설명해서 조금이라도 이해시킨다면 그보다 더 좋은 방법은 없을 것입니다. 이해가 약한 부분은 반복이 중요합니다. 반복해서 보고, 요약해 보고 학습해 보세요. 분명 도움이 되실 것입니다.
2. 쉬운 문제부터 시작하는 난이도 조절
제 경우에 학생들을 가르칠 때 쉬운 개념서로 빠르게 전체 내용을 살펴본 후에 조금 어려운 개념서로 한 번 더 반복하며 심화 과정을 겸하고 있습니다. 어려운 개념서를 어차피 봐야 하므로 쉬운 개념서를 건너뛰어 바로 어려운 책으로 가겠다고 하는 학생들이 종종 있습니다. 아이가 똑똑하고 어려운 문제에 스트레스를 받지 않고 다 잘 푼다면 마다할 이유가 없습니다. 하지만 20년 가까이 아이들을 가르쳐보니 그런 친구들이 생각보다 없습니다. 쉬운 문제집을 푼 후에 어려운 것으로 가는 것이 시간 낭비라 생각하는 학생들이 있는데 두권을 끝내는 것보다 어려운 문제집 한권이 시간이 더 걸리는 것을 볼 수 있었습니다. 쉬운 유형을 익힌 후 그 개념의 다양한 유형들을 접하고 정리하는 것은 정말 필요합니다. 고난도 문제, 흔히 백점 방지 문제라고 하는 것들은 풀고 나면 뿌듯합니다. 하지만 그런 문제를 고민해서 풀어내는 것은 그 전에 이미 많은 연습이 되어 있는 경우에 도움이 됩니다. 일단은 연습량을 많이 늘리는 것이 중요 합 난. 수학 문제 많이 풀도록 하십시오. 문제집을 살펴보면 수학 문제의 난이도가 적혀 있는 경우가 대부분입니다. 난이도가 적혀있지 않다고 하더라도 교과서 문제 유형, 기본, 심화 단계와 같이 난이도가 나누어져 편집된 있는 것을 볼 수 있습니다. 난도가 높은 문제는 지금 당장 풀리지 않는다고 해도 조바심 낼 필요가 없습니다. 우리가 풀어내야 할 시험문제들은 생각보다 난도가 높지 않습니다. 아랫글에서 메타인지에 대해서 수도 없이 말씀드렸습니다. 내가 무엇을 알고 무엇을 모르는지를 잘 알고 있는 개념입니다. 자신에 대해 너무 과대평가도, 과소평가도 하지 만십시도. 나에게 정확히 들어맞는 난이도를 찾아 반복하시고 시간을 단축하세요. 그 이후에 고난도 문제를 몇시간씩 걸려서 고민해서 푸는 것이 바람직하다는 것이 저의 개인적인 생각입니다. 난도가 낮은 문제를 풀어봄으로써 성공에 대한 자신감을 가질 수 있다는 것 또한 수학 공부에 도움이 됩니다.
3. 시각화
어제 교사 그라는 프로그램을 보았습니다. 중학생 학생이 이차 방정식 풀이를 하는데 정승제 선생님께서 그러시더군요. ' 풀이 과정을 그래프로 바꾸어서 푸는 것은 어떨까? ' 라고요. 수학에서 그래프는 정말 중요합니다. 문제 내용이 머릿속에 잘 떠오르지 않을 때 간단하게나마 그래프를 그려보면 찍는다고 하더라도 비슷하게 갈 수 있습니다. 풀이 과정을 계속 정리하면서 그래프와 연결하며 답을 예측해 보세요. 이 부분은 정말 중요합니다. 특히 원, 포물선, 쌍곡선과 같은 기하 부분은 중학교의 도형에 관련된 기본 개념이 정말 중요합니다. 원에 대한 중학교 과정이 그래프에서 표현되는 것이 고등학교 과정이니까요. 중학교 과정도 소홀히 하지 말아 주세요. 또한 마인드맵으로 문제 유형을 개념에 따라 정리하는 것도 수학 공부에 많은 도움이 될 수 있습니다. 저는 마인드맵을 직접 그려서 아이들에게 설명해 주고 있습니다. 하지만 개념을 스스로 정리하며 나만의 마인드맵을 만드는 것이 훨씬 더 효과가 좋습니다. 남이 해 놓은 것을 그대로 머리에 넣는 것보다 내가 그리는 것이 시간은 더 걸릴 수 있습니다. 하지만 기억의 지속력 차이는 천지 차이입니다. 이것을 고려해 보았을 경우 결국 시간을 줄이는 것은 스스로가 그려보는 것입니다. 나만의 마인드맵 그리기에 도전하세요.
4. 풀이 과정 설명하기
수학 문제를 푸는 데 있어 풀이 과정을 설명해 보는 것은 정말 중요합니다. 찍어서 정답을 맞히는 것은 의미가 없습니다. 물론, 찍는 것도 나름의 방법으로 답과 근사한 것을 예측해서 찍는 것이라는 것도 알고 있습니다. 하지만 풀이 과정을 쓰는 것은 정말 중요합니다. 수학 문제는 풀이 과정을 써야 한다는 내용의 영어 부교재 해석을 어제 했던 기억이 납니다. 저도 개인적으로 학생들이 수학 문제를 질문할 때 풀이 과정을 가지고 오라고 항상 이야기합니다. 풀이 과정이 있어야 이 학생이 막히는 부분을 알 수 있습니다. 풀이 과정에서 통분을 못 해서 문제를 못 푸는 것인지, 개념을 모르는 것인지, 인수분해가 안되는 것인지는 과정을 봐야만 알 수 있습니다. 막히는 부분을 알아야 그 부분만 빠르게 복습하고 실력을 키울 수 있습니다. 이런 식의 구멍이 하나하나 생긴다면 나중에는 큰 둑이 되어 터져버릴지 모릅니다. 사소한 과정에 막히는 부분은 그때그때 해결하고 넘어가세요. 저희와 같은 개별지도를 하는 학원이 아니라고 한다면 막히는 부분에 대한 것이 몇 학년 과정인지 학교 수학 선생님께 여쭈어 보세요. 강남인 강이나 EBS와 같은 인터넷 강의를 이용하면 구멍을 메꿀 수 있습니다. 사소한 개념 하나라도 소홀히 넘어가지 마세요. 다른 친구들에게 완전히 설명이 가능할 때, 자신의 것이 되는 것입니다. 친구도 공부하느라 바쁠 경우 부모님께 들어보시라고 요청하십시오. 부모님은 누구보다 자식이 공부 잘하는 것을 바라실 테니까요. 설명하기는 수학 공부의 완성도를 높이는 데 가장 중요한 부분이라고도 할 수 있습니다. 꼭 실천해 보시길 바랍니다.
5. 오답 노트
오답 노트는 남들이 다 하니까 하는 것이 아닙니다. 저는 학생들에게 항상 이야기합니다. "문제를 푸는 것이 공부하는 게 아니야. 틀린 문제를 보고 오답을 수정하는 것부터가 진짜 공부야"라고 말입니다. 저는 그렇게 생각하고 있습니다. 문제 풀이 과정을 반드시 써야 한다는 이야기와 일맥상통하는 이야기일 수도 있겠습니다. 오답 노트는 단순하게 틀린 문제의 모음이 아닙니다. 오답 노트에 적을 때는 내가 어떤 부분 때문에 틀렸는지를 적는 것이 정말 중요합니다. 개념이 부족했던 것인지 계산 실수인지, 계산 실수라면 인수분해인지 동류항 정리인지와 같은 것들입니다. 개념이 여러 개가 혼합되어 있는 경우라면 문제를 천천히 읽어보며 어떤 개념을 어떤 순서로 적용해야 하는지에 대해서도 꼭 생각해 보시길 바랍니다. 내가 부족한 부분을 오답 노트를 통해 확인했다면 반드시 그 부분을 익히고 다음 공부로 넘어가세요. 오답을 시험 전에 찾아냄으로써 나의 성적이 한단계 올라가는 것입니다. 시험을 봤으면 반드시 틀렸을 문제들을 그 이전에 찾아냈으니 얼마나 다행입니까? 오답 노트를 사랑하세요.
최고 정상에 오른 사람들은 디테일이 다르다고들 말합니다. 수학 문제도 마찬가지인 것 같습니다. 사소한 개념 하나 놓쳤고 다음에 익히자는 생각을 했다면 100점이라는 고지에 오를 수 없을 것입니다. 공부하는 과정 자체가 외롭고 힘든 길입니다. 그만큼 성취했을 때 만족도가 큰 것도 사실입니다. 가끔 사회생활을 하면서 공부가 가장 쉬웠다고 생각할 때가 있습니다. 정말 공부가 쉬워서 하는 말이 아닙니다. 사람과 사람이 만나면 내가 의도하지 않은 일들이 일어나기도 합니다. 오해가 쌓이기도 하고 다툼으로 번지기도 합니다. 사람을 마주하며 지치게 되면 꼭 드는 생각이 있습니다. ' 공부는 내가 한 만큼 정직하게 나타나잖아. ' 요행은 없습니다. 올바른 공부 방법으로 꾸준히 하십시오. 성적이 조금씩 계속 오르는 것을 보면 '이 맛에 공부한다'라는 말이 절로 나오시리라 믿습니다.