그래프와 정비례·반비례까지 이어지는 이야기
좌표평면에서 길을 잃은 코코
중학교 1학년 아이들은 좌표평면에 점을 찍는 것까지는 곧잘 합니다.
그런데 문제가 문장으로 바뀌면 멈춥니다.
점을 찍는 것과 좌표를 읽는 것은 서로 다른 능력이기 때문입니다. 제가 만든 자료도 바로 이 지점에서 시작합니다.
좌표평면을 어려운 수학 그림으로 보지 말고, 도시 지도라고 생각해 보면 어떨까요?
오늘은 배달 로봇 코코와 함께 좌표평면에서 그래프, 정비례, 반비례까지 이어지는 길을 걸어보겠습니다.
코코의 첫 배달
오늘은 배달 로봇 코코의 첫 출근 날입니다.
관제센터에서 말했습니다.
“코코, 케이크를 민지네 집으로 배달해 줘.”
“민지네 집이 어디예요?”
“공원 근처야.”
“공원의 어느 쪽이요?”
“분수대 지나서 하얀 울타리 집.”
코코가 잠시 멈췄습니다.
“그렇게 말하면 못 찾아가요. 정확한 주소를 알려주세요.”
그래서 관제센터는 도시 위에 가로선과 세로선을 그었습니다.
그리고 민지네 집의 주소를 알려주었습니다.
(3,2)
“오른쪽으로 3칸, 위로 2칸 가면 돼.”
코코의 눈이 반짝였습니다.
“아, 좌표는 숫자로 된 주소군요.”
숫자는 같은데 왜 다른 곳일까?
코코는 자신 있게 출발했습니다.
그런데 도착한 곳에는 민지네 집이 아니라 놀이터가 있었습니다.
“관제센터, 이상해요. 2와 3을 모두 맞게 썼는데요?”
“코코, 너는 (2,3)으로 갔어. 주소는 (3,2)였어.”
“숫자는 똑같잖아요.”
“좌표에서는 순서가 중요해. 앞은 가로, 뒤는 세로야.”
코코가 고개를 끄덕였습니다.
“203동 301호와 301동 203호가 다른 집인 것과 같네요.”
맞습니다.
(3,2)와 (2,3)은 같은 숫자가 들어 있어도 전혀 다른 위치입니다.
앞은 가로, 뒤는 세로.
이 순서를 바꾸면 코코처럼 엉뚱한 곳에 도착합니다.
0은 움직이지 않았다는 뜻입니다
다음 주소는 (0,3)이었습니다.
코코가 물었습니다.
“앞이 0이면 어디로 가야 하죠?”
“앞은 가로니까 왼쪽이나 오른쪽으로는 움직이지 않고, 위로만 3칸 가면 돼.”
이번에는 (4,0)이 나왔습니다.
코코가 바로 대답했습니다.
“오른쪽으로 4칸 가고, 위아래로는 움직이지 않으면 되겠네요.”
좌표에서 0은 그 방향으로 움직이지 않았다는 뜻입니다.
- (0,3)은 세로축 위
- (4,0)은 가로축 위
- (0,0)은 출발점인 원점
그리고 축 위에 있는 점은 어느 사분면에도 속하지 않습니다. 복도에 서 있는 사람이 어느 방 안에도 들어가 있지 않은 것과 같습니다.
점이 모이면 그래프가 됩니다
어느 날 관제센터장이 물었습니다.
“코코, 오늘 어떻게 움직였는지 보여줄 수 있니?”
코코는 지도에 점 하나를 찍었습니다.
“여기에 있었어요.”
“그 점은 한순간의 위치만 보여줘. 움직인 과정은 알 수 없잖아.”
그래서 코코의 위치를 시간마다 기록했습니다.
출발할 때 한 점,
1분 뒤에 한 점,
2분 뒤에 또 한 점.
점들이 모이자 코코의 이동 모습이 보이기 시작했습니다.
“점 하나는 사진 한 장이고, 여러 점은 영상 같네요.”
바로 이것이 그래프입니다.
좌표 하나는 한 순간의 위치이고, 그래프는 여러 위치가 모여 만든 변화의 기록입니다.
같은 속도로 가면 정비례
코코는 매분 2칸씩 일정하게 움직였습니다.
1분 뒤에는 2칸,
2분 뒤에는 4칸,
3분 뒤에는 6칸.
코코가 말했습니다.
“시간이 두 배가 되면 거리도 두 배가 되네요.”
이처럼 한쪽이 몇 배가 될 때 다른 쪽도 같은 배수로 늘어나는 관계가 정비례입니다.
정비례는 어려운 공식이 아니라, 같은 규칙으로 꾸준히 늘어나는 관계입니다.
더 빨리 가면 시간은 줄어듭니다
이번에는 같은 길을 서로 다른 속도로 달려보았습니다.
천천히 가면 오래 걸리고,
빠르게 가면 시간이 줄었습니다.
코코가 말했습니다.
“이번에는 하나가 커질수록 다른 하나는 작아지네요.”
이런 관계가 반비례입니다.
정비례는 함께 늘어나고,
반비례는 한쪽이 늘어날 때 다른 쪽이 줄어듭니다.
결국 하나의 이야기입니다
좌표평면은 코코가 움직이는 도시의 지도입니다.
좌표는 정확한 주소이고,
그래프는 코코의 움직임을 기록한 발자국입니다.
정비례와 반비례는 그 움직임 속에서 발견한 규칙입니다.
아이들은 교과서의 단원 이름이 바뀔 때마다 새로운 내용을 배운다고 느낍니다.
하지만 실제로는 좌표가 여러 개 모여 그래프가 되고, 그 그래프에서 정비례와 반비례의 관계를 읽는 것입니다.
기초가 약한 아이에게 필요한 것은 문제를 무조건 많이 푸는 일이 아닐 수 있습니다.
먼저 지금 배우는 내용이 다음 내용으로 어떻게 이어지는지 보여줘야 합니다.
좌표평면은 앞으로 배우게 될 함수와 그래프를 읽기 위한 첫 번째 지도입니다.
좌표평면 기초 자료
이번 자료는 기초가 약한 학생도 좌표를 읽을 수 있도록 다음 내용을 단계별로 정리했습니다.
좌표의 순서,
0이 있는 좌표,
사분면과 부호,
좌표와 문장을 비교하는 문제,
부호가 바뀌는 문제까지 연습할 수 있습니다.
[좌표평면 기초 학습자료 첨부]
오늘도 아이들이 수학을 쉽게 접할 수 있도록 노력하는 소명영수학원 유레카 학원이었습니다.